$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Dates :}&24/04 &25/04& 26/04& 27/04& 30/04& 01/05& 02/05 &03/05 &04/05\\
\hline
\text{Rang du jour } x_i&1&2& 3& 4& 7& 8& 9& 10& 11\\
\hline
\text{Pourcentage } y_i&55 &55& 54,5& 55& 54& 53,5& 53& 53& 52\\
\hline
\end{array}$
Par exemple, le 24 avril les intentions de votes pour le candidat A étaient de 55 % et pour le candidat B de 45%.
Le scrutin aura lieu le 6 mai. Comme il est interdit de publier des résultats de sondages les deux derniers jours avant le scrutin, on ne dispose pas des sondages pour le 5 et le 6 mai.
Le nuage de points de coordonnées $(x_i; y_i)$ pour $i$ variant de 1 à 11, est donné en annexe à rendre avec la copie.
- À l'aide de la calculatrice, déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ (arrondir les coefficients au millième).
- On décide d'ajuster le nuage avec la droite $D$ d'équation $y = -0,28x+55,6$.
a. Tracer la droite $D$ sur le graphique figurant sur annexe.
b. Déterminer la valeur prévue par ce modèle le 6 mai, jour de l'élection.
c. Si l'élection n'avait pas eu lieu le 6 mai, d'après ce modèle, à partir de quelle date le candidat B serait-il passé en tête des sondages ?
- Des sondages ont été faits le jour de l'élection mais n'ont pas été communiqués. Un de ces sondages donnait le candidat A à 52%. L'institut disait avoir effectué ce sondage sur un échantillon représentatif de 1~225 personnes.
a. Au vu de ce dernier sondage, établir l'intervalle de confiance au niveau de 95%, pour le résultat du candidat A à l'élection.
b. Au vu de cet intervalle, la victoire de ce candidat-semblait elle assurée?
Justifier la réponse.
Annexe
Exercice 2 (7 points)
En 2016 une étude réalisée dans une grande entreprise révèle que 60% des employés peuvent venir travailler grâce aux transports en commun. Parmi ceux-ci, 72% déclarent venir tout de même en voiture. Parmi ceux qui n'ont pas accès aux transports en commun, 96% viennent travailler en voiture.
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Partie A
On choisit au hasard un employé de cette entreprise et on considère les événements suivants:
- $T$ : "L'employé peut utiliser les transports en commun" ;
- $V$ : "l'employé vient travailler en voiture".
On notera $\overline{T}$ et $\overline{V}$ les événements contraires.
Les résultats seront tous donnés à 0,001 près.
- Recopier et compléter l'arbre pondéré donné ci-dessous.
- Calculer la probabilité de l'événement $T\cap V$.
- Déterminer la probabilité que l'employé ne puisse pas utiliser les transports en commun et ne vienne pas travailler en voiture.
- Justifier que la probabilité de l"événement $V$ est égale à $0,816$.
- Sachant que l’employé vient en voiture, quelle est la probabilité qu'il ait accès aux transports en commun ?
Partie B
L'entreprise souhaite, par diverses incitations, diminuer de 5% par an le pourcentage de ceux qui viennent travailler en voiture.
On note $U_0$ le pourcentage de ces employés en 2016 et pour tout entier $n$, $U_n$ le pourcentage espéré l'année (2016 + $n$). On a montré dans la partie A que $U_0 = 81,6$.
- Calculer $U_1$, puis $U_2$.
- Déterminer la nature de cette suite puis exprimer $U_n$ en fonction de $n$.
- Calculer le pourcentage attendu d'employés venant en voiture en 2020.
- D'après ce modèle, à partir de quelle année, y aura-t-il moins d'un employé sur deux qui viendra travailler en voiture ?
Exercice 3 (8 points)
Une étude de l'INSEE a listé l'évolution en France des salaires nets annuels moyens de 1990 à 2010.
Partie A
On a reporté quelques valeurs dans le tableau ci-dessous :
$\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline
\text{Années:}& 1990& 2000& 2010\\
\hline
\begin{array}{l}\text{Salaire net annuel moyen pour }\\ \text{les hommes (€) :}\end{array} & 17~643&21~498&26~831\\
\hline
\begin{array}{l}\text{Salaire net annuel moyen pour } \\ \text{les femmes (€) :} \end{array} &13~258& 17~259& 22~112\\
\hline
\end{array}$
- Calculer le taux d'évolution du salaire net moyen des hommes puis celui des femmes, entre 1990 et 2000.
- Qui, des hommes ou des femmes, a vu la plus forte progression du salaire net moyen entre 1990 et 2000 ? Cette tendance s'est-elle confirmée durant les dix années suivantes?
- Calculer le taux annuel moyen d'évolution du salaire net des hommes entre 1990 et 2000 et comparer avec celui des femmes qui est d'environ de 2,7%.
Partie B
En se servant des données de cette étude, on modélise l'évolution des salaires nets annuels moyens jusqu'en 2020 :
- Pour les hommes par la fonction $h$ définie sur [0;30] par: $$h(x) = 0,25x^3+2x^2+318x+17~865$$
- Pour les femmes par la fonction $f$ définie sur [0;30] par: $$f(x) = 0,6x^3-13x^2+470x+13~324$$
Ainsi, $h(0)$ désigne le salaire net annuel des hommes en 1990, $f(1)$ désigne le salaire net annuel des femmes en 1991, etc.
- Calculer $h(15)$ et $f(15)$ puis interpréter les résultats.
- Calculer l'écart des salaires nets annuels moyens prévus par ce modèle entre les hommes et les femmes en 2020.
- Montrer que l'écart entre ces deux salaires peut être modélisé par la fonction $g$ définie sur [0;30] par :
$g(x) = -0, 35x^3+15x^2-152x+4~541$
- On note $g'$ la dérivée de la fonction $g$. Calculer $g'(x)$.
- Déterminer le signe de $g'(x)$ sur [0;30].
- Peut-on affirmer que l'écart entre les salaires nets annuels moyens des hommes et des femmes n'a fait que diminuer depuis 1990 ?
Partie C
Le modèle choisi indique que l'écart entre le salaire des hommes et celui des femmes diminue à partir de 2012. On suppose que ce modèle peut être valable jusqu'en 2040.
- Compléter l'algorithme, donné en annexe, pour qu'il affiche à partir de quelle année, avec ce modèle, le salaire des femmes aura rattrapé celui des hommes.
- En utilisant le tableau donné ci-dessous, dire ce qu'affichera l'algorithme.
Annexe
$X$ prend la valeur $0$
$H$ prend la valeur $17~865$
$F$ prend la valeur $13~324$
Tant que $\ldots\ldots < \ldots\ldots$
$\quad$ $X$ prend la valeur $X+1$
$\quad$ $H$ prend la valeur $0,25 X^3+2X^2+318X+17~865$
$\quad$ $F$ prend la valeur $0,6 X^3-13X^2+470X+13~324$
Fin tant que
$A$ prend la valeur $1990+\ldots\ldots$
Afficher $A$
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