Le coût total de production en euro de ce tissu est donné, en fonction de $x$, par : $$C(x) = 15x^3-120x^2+350x+1~000$$
La courbe de la fonction $C$ est représentée sur le graphique ci-dessous.
Partie A : Étude du coût total
- Déterminer le montant des coûts fixes.
- a) Déterminer, par lecture graphique, le montant du coût total lorsque l'entreprise produit 6 km de tissu.
b) Déterminer par un calcul sa valeur exacte.
- Déterminer graphiquement la longueur, arrondie au kilomètre, de tissu produit lorsque le coût total s'élève à 5 500 € .
Partie B : Étude du bénéfice
Le cours du marché offre un prix de 530 € le kilomètre de tissu fabriqué par l’entreprise.
Pour tout $x \in$ [0;10], on note $R(x)$ la recette et $B(x)$ le bénéfice générés par la production et la vente de $x$ kilomètres de tissu par l'entreprise.
- Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$.
- Montrer que pour tout $x\in$ [0;10], $B(x) = -15x^3+120x^2+180x-1~000$.
- Déterminer $B'(x)$ pour $x \in$ [0;10] où $B'$ désigne la fonction dérivée de $B$.
- Étudier le signe de $B'(x)$ et en déduire les variations de la fonction $B$ sur [0;10].
- a) Pour quelle longueur de tissu produit et vendu l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice maximal ?
b) Donner alors la valeur de ce bénéfice maximal.
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