Le prix du gramme d’or a subi de 2010 à 2015 de fortes variations alors que la progression entre
2005 et 2009 avait été relativement régulière.
Un expert estime que l’on peut prévoir le prix du gramme d’or dans le futur en se basant sur
l’évolution de celui-ci entre 2005 et 2009.
Le tableau suivant donne l’évolution du prix moyen annuel du gramme d’or entre 2005 et 2009.
Les parties A et B sont indépendantes
Partie A
Le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i;y_i\right)$ est représenté dans le repère donné en
annexe 1.
- À l’aide de la calculatrice, donner une équation de la droite qui réalise un ajustement affine
du nuage de points de coordonnées $\left(x_i;y_i\right)$ par la méthode des moindres carrés, en
arrondissant les coefficients au centième.
- Pour simplifier les calculs, on choisit de réaliser cet ajustement affine avec la droite $D$
d’équation :$ y = 2,5x +11,9$.
- Tracer cette droite $D$ dans le repère donné en annexe 2.
- Suivant ce modèle d’ajustement, calculer le prix du gramme d’or prévisible en 2015.
Indiquer sur le graphique la vérification de ce résultat.
- Déterminer l’année à partir de laquelle le prix du gramme d’or dépassera 50 euros
selon ce modèle.
- Un autre expert propose un ajustement défini par l’équation $y = 0,01x^2 +2,3x +11$.
Sachant que le prix moyen annuel du gramme d’or en 2015 a été de 33,81 euros, lequel des
deux ajustements a été le plus proche de la réalité en 2015 ?
Partie B
Un bijoutier souhaite lancer un nouveau modèle de bijou contenant de l’or.
On admet que le coût de production de ce bijou, exprimé en millier d’euros, est modélisé par la
fonction C définie par
\[C(x)= 2x^3 -3x^2 +3x +15\]
où x représente le nombre de centaines de bijoux fabriqués.
On admet également que la recette, exprimée en millier d’euros, est modélisée par la fonction $R$
définie par $R(x) = 15x$ où $x$ représente le nombre de centaines de bijoux fabriqués et vendus.
Le nombre de bijoux fabriqués et vendus est compris entre 50 et 300 donc $x\in$ [0,5 ; 3].
- Montrer que la fonction bénéfice B est définie pour tout $x\in$ [0,5 ; 3] par :
\[B(x) = -2x3 +3x2 +12x -15.\]
- Déterminer B'(x) pour $x\in$ [0,5 ; 3], où B' désigne la fonction dérivée de B.
- Étudier le signe de B’(x) pour $x\in$ [0,5 ; 3].
En déduire le tableau de variations de B.
- Préciser alors le nombre de bijoux fabriqués et vendus qui permet de réaliser un bénéfice
maximal.
Annexe à rendre avec la copie
Annexe 1
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